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A line segment consisting of only a single point is called a degenerate line segment. In addition to defining points and constructs related to points, Euclid also postulated a key idea about points, that any two points can be connected by a straight line.

This is easily confirmed under modern extensions of Euclidean geometry, and had lasting consequences at its introduction, allowing the construction of almost all the geometric concepts known at the time.

However, Euclid's postulation of points was neither complete nor definitive, and he occasionally assumed facts about points that did not follow directly from his axioms, such as the ordering of points on the line or the existence of specific points.

In spite of this, modern expansions of the system serve to remove these assumptions. There are several inequivalent definitions of dimension in mathematics.

In all of the common definitions, a point is 0-dimensional. The dimension of a vector space is the maximum size of a linearly independent subset.

In a vector space consisting of a single point which must be the zero vector 0 , there is no linearly independent subset.

The zero vector is not itself linearly independent, because there is a non trivial linear combination making it zero: If no such minimal n exists, the space is said to be of infinite covering dimension.

A point is zero-dimensional with respect to the covering dimension because every open cover of the space has a refinement consisting of a single open set.

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In all of the common definitions, a point is 0-dimensional. The dimension of a vector space is the maximum size of a linearly independent subset.

In a vector space consisting of a single point which must be the zero vector 0 , there is no linearly independent subset. The zero vector is not itself linearly independent, because there is a non trivial linear combination making it zero: If no such minimal n exists, the space is said to be of infinite covering dimension.

A point is zero-dimensional with respect to the covering dimension because every open cover of the space has a refinement consisting of a single open set.

Let X be a metric space. A point has Hausdorff dimension 0 because it can be covered by a single ball of arbitrarily small radius.

Although the notion of a point is generally considered fundamental in mainstream geometry and topology, there are some systems that forgo it, e.

A "pointless" or "pointfree" space is defined not as a set , but via some structure algebraic or logical respectively which looks like a well-known function space on the set: More precisely, such structures generalize well-known spaces of functions in a way that the operation "take a value at this point" may not be defined.

A further tradition starts from some books of A.

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Author: Dugami

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